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Topologischer Raum

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Topologischer Raum, Mathematik, eine Menge M mit einer topologischen Struktur, der Definition einer Eigenschaft, die der mathematischen Intuition der »Nähe« entspricht. Statt topologischer Struktur auch einfach nur Topologie (wie das Fachgebiet Topologie), insbesondere wenn verschiedene Topologien auf einer Menge betrachtet werden. Die Elemente von M werden konventionellerweise als Punkte bezeichnet.

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Die topologische Struktur {Oα } ist eine Teilmenge der Potenzmenge von M, eine also eine Menge von Teilmengen von M. Eine Menge O heißt »offen«, wenn sie Element dieser topologischen Struktur ist. Für offene Mengen werden diese Axiome gefordert:

  1. Die leere Menge und M selbst sind offene Mengen.
  2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist auch offen.
  3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist auch offen.

Die Verbindung mit dem intuitivem Begriff der "Nähe" stellt der Begriff des Häufungspunkts her, der definiert wann sich ein Punkt durch andere Punkte annäheren lässt:

  • Ein P ist Häufungspunkt der Menge XM, wenn jede offene Menge O die P enthält, auch mindesten ein Element aus X enthält, das nicht gleich P ist.

Aus den Axiomen 1 bis 3 alleine ergeben sich wenige Folgerungen, dies lässt sich daran erkennen, dass für jede Menge M die triviale Topologie (nur M und die leere Menge sind offen) und die diskrete Topologie (alle Teilemengen von M sind offen) zugelassen sind. In der trivialen Topologie ist jeder Punkt Häufungspunkt jeder Menge, die einen von ihm verschiedenen Punkt enthält, in der diskreten Topologie ist kein Punkt Häufungspunkt irgendeiner Menge.

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