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Polynom

Artikel #12528, »Polynom«, geschrieben von: Wolfgang Keller(Red.) (100 %)

Sei R ein Ring. Dann definieren wir den Polynomring über R (den wir mit Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
bezeichnen wollen) als die Menge aller Folgen über R (beginnend mit Index 0), die nur endlich viele von 0 verschiedene Elemente besitzen. Die Folgen bezeichnen wir als Polynome über R.

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Auf Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
definieren wir Operationen:

  • Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
  • Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)

Bezüglich dieser Operationen bildet Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
einen Ring.

Schreibweise für Polynomringe

Häufig werden Polynomringe als

Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
mit Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)

dargestellt, wobei x eine freie Variable darstellt. Problematisch ist diese Definition im Falle nicht kommutativer Ringe, da es unnatürlich wirkt, dass hier Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
gilt.

Wichtige Bezeichnungen

Für ein Polynom f bezeichnet man Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
. Wenn f nur Nullkoeffizienten besitzt, definiert man Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
oder Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
.

Einsetzungshomomorphismus

Entgegen weit verbreitetem Glauben stellen Polynome keine Funktionen dar. Jedoch kann man im Falle, dass R kommutativ ist, für jede R-Algebra A einen Homomorphismus von Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
nach Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
(den Ring der Funktionen von A nach A bezüglich kanonischer Addition und punktweiser Multiplikation) definieren:

Dazu definiert man einen Homomorphismus Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, den man als Einsetzungshomomorphismus bezeichnet.

Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
stellt in der Tat einen Ringhomomorphismus dar.

Bemerkung

Dieser Homomorphismus ist im Allgemeinen nicht injektiv, selbst wenn man A als nichttrivial voraussetzt.

Jedoch folgt aus dem Satz über die Vandermonde-Determinante, dass für Integritätsringe R mit Charakteristik 0 und A unitäre R-Algebra mit Dimension mindestens 1 (insbesondere ist A=R zulässig) ist, dass dann die Injektivität erfüllt ist.

Beispiel zur Bemerkung

Beispielsweise gilt für Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
(Körper mit zwei Elementen), Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
(der Übersichtlichkeit halber benutzen wir die Schreibweise in einer freien Variablen, was insofern gerechtfertigt ist, als dass Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
kommutativ ist).

Wie man leicht nachrechnet, gilt für alle Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
: Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
. Dennoch ist offenbar Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
(als Polynom).

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