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Monoid

Artikel #8839, »Monoid«, geschrieben von: Wolfgang Keller(Red.) (60 %) , Peter Jacobi (34 %) et al.

Monoid, in der abstrakten Algebra eine assoziative algebraische Struktur, mit neutralem Element. Es existiert also eine Funktion, in diesem Zusammenhang meist Verknüpfung oder Operation genannt, die je zwei Elementen der Menge ein drittes, das Resultat der Operation zuordnet.

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Formal definiert ist ein Monoid Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
als ein Tupel aus einer Menge Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
mit und einer Funktion Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, so dass:

  1. das Assoziativgesetz gilt.
  2. ein beidseitig neutrales Element (auch: Einselement) existiert: Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)

Anmerkungen

3. kann man abschwächen, indem man nur fordert, dass es ein rechtsneutrales Element Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
und ein linksneutrales Element Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
gibt ohne die Gleichheit beider zu fordern. Diese folgt offensichtlich:

Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)

Das erste Gleichheitszeichen folgt aus der Eigenschaft des rechtsneutralen Elements Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, das zweite aus der Eigenschaft des linksneutralen Elements Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
.

Wichtige Monoide

Eine Gruppe stellt einen Spezialfall eines Monoids dar.

Beispiele für Monoide, die keine Gruppen sind, sind die ganze Zahlen bezüglich der Multiplikation oder die natürlichen Zahlen, mit der Null, bezüglich der Addition.

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist das freie Monoid: Sei Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
ein Alphabet und Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
die Menge der Wörter über diesem Alphabet, dann bildet die Menge der Wörter über dem Alphabet zusammen mit der Verknüpfung der Verkettung einen Monoid. Das neutrale Element stellt hierbei das leere Wort dar.

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