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Körper ((Mathematik))

Artikel #10959, »Körper ((Mathematik))«, geschrieben von: Wolfgang Keller (78 %) , Ulrich Fuchs (20 %) , Markus Schweiß(Red.) (0 %)

Körper, in der Mathematik ein Tupel aus einer Menge und zwei Funktionen, die je zwei Elemente der Menge auf ein weiteres Element der Menge abbilden (wobei es sich dabei jeweils um das selbe Element handeln kann), und dabei den selben Regeln unterliegen, denen das »gewöhnliche« Rechnen mit reellen Zahlen unterliegt.

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Formal heißt Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, mit

  1. Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    : eine Menge
  2. Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    : Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    (Funktionen von Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    auf Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    )

ein Körper, wenn

  1. Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 (Null) bildet
  2. Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    eine kommutative Gruppe bildet
  3. das Links-Distributivgesetz Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    gilt.

Anmerkungen

  1. Aus 3. folgt unter Ausnutzung der Kommutativität von Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    das Rechts-Distributivgesetz Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    und umgekehrt. Daher ist es legitim, in 3. anstelle der Links-Distributivität die Rechts-Distributivität zu fordern.
  2. Körper sind nullteilerfrei, d. h. aus Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    folgt x=0 oder y=0
  3. In älteren Lehrbüchern wird in 2. keine Kommutativität von Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    gefordert. In diesem Fall wird die obige Definition von Körper als kommutativer Körper bezeichnet. Mittlerweile hat sich durchgesetzt, Körper, in denen die Kommutativität der Multiplikation nicht gilt, als Schiefkörper zu bezeichnen. Der Grund, warum die Kommutativität der Multiplikation im Allgemeinen gefordert wird, liegt darin, dass ohne diese die Eindeutigkeit der Polynomfaktorisierung nicht gewährleistet ist. Beispielsweise besitzt das Polynom Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    über dem Schiefkörper der Quaternionen unendlich viele Nullstellen
  4. Ein Körper wird als endlich bezeichnet, wenn Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    endlich ist

Wichtige Sätze über endliche Körper

Falls ein Körper endlich ist, so muss Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
aus p^n vielen Elementen bestehen, wobei p eine Primzahl und n>1 ist. Umgekehrt gibt es zu jedem n>1 und jeder Primzahl p einen Körper, der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.

Jeder nullteilerfreie kommutative Ring mit endlich vielen Elementen ist ein Körper (Satz von Wedderburn).

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